Question

29、设函数f（x）=e^x-m-x，其中m∈R．
（I）求函数f（x）的最值；
（II）给出定理：如果函数y=f（x）在区间[a，b]上连续，并且有f（a）•f（b）＜0，那么，函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在x₀∈（a，b），使得f（x₀）=0．
运用上述定理判断，当m＞1时，函数f（x）在区间（m，2m）内是否存在零点．

Answer 1

分析：（1）讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值，连续函数f（x）在区间（a，b）内只有一个极值，那么极小值就是最小值；
（2）根据函数零点的判定定理，先分别求出x=m与x=2m的函数值，看函数值是否异号，如果异号，函数f（x）在区间（m，2m）内存在零点，否则不存在．

解答：解：（I）∵f（x）在（-∞，+∞）上连续，f′（x）=e^x-m-1，
令f′（x）=0，得x=m．（3分）当x∈（-∞，m）时，
e^x-m＜1，f′（x）＜0；当x∈（m，+∞）时，e^x-m＞1，
f′（x）＞0；所以，当x=m时，
f（x）取极小值也是最小值
∴f（x）_min=f（m）=1-m（*）
由（*）知f（x）无最大值；（6分）
（II）函数f（x）在[m，2m]上连续，
而f（2m）=e^m-2m，
令g（m）=e^m-2m．
则g′（m）=e^m-2
∵m＞1∴g′（m）＞e-2＞0
∴g（m）在（1，+∞）上递增．（8分）
由g（1）=e-2＞0，
得g（m）＞g（1）＞0，
即f（2m）＞0，（10分）
又f（m）=1-m＜0，
∴f（m）•f（2m）＜0，
根据定理，可判断函数f（x）在区间（m，2m）上存在零点．（12分）

点评：本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值，以及函数零点的判定定理，属于基础题．