Question

已知直线l₁：3x+4y-2=0与l₂：2x+y+2=0的交点为P．
（Ⅰ）求交点P的坐标；
（Ⅱ）求过点P且平行于直线l₃：x-2y-1=0的直线方程；
（Ⅲ）求过点P且垂直于直线l₃：x-2y-1=0直线方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）联立两直线的方程，得到一个关于x与y的二元一次方程组，求出方程组的解即可得到交点P的坐标；
（Ⅱ）根据两直线平行时，斜率相等，由直线l₃的斜率设出所求直线的方程为x-2y+m=0，把第一问求出的P的坐标代入即可确定出m的值，进而确定出所求直线的方程；
（Ⅲ）根据两直线垂直时，斜率的乘积为-1，由直线l₃的斜率求出所求直线的斜率，设出所求直线的方程，把P的坐标代入即可确定出所求直线的方程．

解答：（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由

3x+4y-2=0 2x+y+2=0

，解得

x=-2 y=2.

，
所以点P的坐标是（-2，2）；                         …（4分）

（Ⅱ）因为所求直线与l₃平行，
所以设所求直线的方程为 x-2y+m=0．
把点P的坐标代入得-2-2×2+m=0，得m=6．
故所求直线的方程为x-2y+6=0；                  …（8分）

（Ⅲ）因为所求直线与l₃垂直，
所以设所求直线的方程为 2x+y+n=0．
把点P的坐标代入得 2×（-2）+2+n=0，得n=2．
故所求直线的方程为 2x+y+2=0．                    …（12分）

点评：此题考查了直线的一般式方程，以及两直线的交点坐标，两直线方程的交点坐标的求法为：联立两直线的解析式组成方程组，求出方程组的解可得交点坐标，同时要求学生掌握两直线平行及垂直时斜率满足的关系．