Question

1．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}（3a-1）x+4a，x＜1\\-{x^2}+2ax+1，x≥1\end{array}\right.$是R上的减函数，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，1]
• B． $[{\frac{1}{5}，\frac{1}{3}}）$
• C． $（{-∞，\frac{1}{3}}）$
• D． $[{\frac{1}{5}，1}]$

Answer 1

分析 要求f（x）在每一段上都是减函数，且在第一段的最小值大于或大于在第二段上的最大值即可．

解答 解：∵$f（x）=\left\{\begin{array}{l}（3a-1）x+4a，x＜1\\-{x^2}+2ax+1，x≥1\end{array}\right.$是R上的减函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3a-1＜0}\\{-\frac{2a}{-2}≤1}\\{3a-1+4a≥2a}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{5}$≤a$＜\frac{1}{3}$．
故选B．

点评 本题考查了分段函数的单调性，找到两段上的最值关系是关键．