Question

点P在圆x²+(y-2)²=上移动，点Q在椭圆x²+4y²=4上移动，求PQ的最大值与最小值，及相应的点Q的坐标.

Answer 1

思路分析：点P与点Q都是动点，PQ的表达式中会有两个参变量，最大值与最小值都难求.点P在圆上，圆是一个中心对称图形.当椭圆上的点到圆心距离最远时，它到圆上的点也会是最远，故先将求PQ转化为求圆心O′与Q的距离.点Q在椭圆上，可利用椭圆的参数方程表示点P的坐标.

解：设Q(2cosα,sinα),O′(0,2),则

O′Q²=(2cosα)²+(sinα-2)²=4cos²α+sin²α-4sinα+4=-3(sinα+)²+8+，

故当sinα=时，O′Q²取最大值为，此时，O′Q=.

当sinα=1时，O′Q²取最小值为1，此时，O′Q=1.

又圆的半径为，故圆上的点P与Q的最大距离为PQ=+.

P与Q的最小距离为PQ=1-=.PQ取最大值时，sinα=,cosα=，

Q的坐标为()或(,)；PQ取最小值时，sinα=1,cosα=0，点Q的坐标为(0,1).

    深化升华 本题的解法再次体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性,并且对于椭圆的参数方程要求更高了，因为所给方程不是椭圆的标准方程的形式.运用参数方程显得很简单，运算更简便.