Question

（09年东城区二模理）（13分）

如图,为双曲线的右焦点,

为双曲线右支上一点,且位于轴上方,为左准线上一点,为坐标原点.已知四边形为菱形.

（Ⅰ）求双曲线的离心率；

（Ⅱ）若经过焦点且平行于的直线交双曲线于两点,且,求此时的双曲线方程. 

Answer 1

解析: (Ⅰ)由于四边形是菱形,故,

作双曲线的右准线交于点,

则.        …………3分

所以离心率

;

整理得.解得或(舍)．

故所求双曲线的离心率为2 ．             …………5分

(Ⅱ) 由得,双曲线方程为.             　　　　　　

设的横坐标为,由于四边形是菱形,即,

得.将其代入双曲线方程得,解得.

即.               ………………7分

.故直线的方程为.     …………8分

将直线的方程代入到双曲线方程中得.             …………10分

由得,

解得.则.

      所求双曲线方程为.                 ……………13分