Question

（14分）如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点，平行于的直线在轴上的截距为，交椭圆于两个不同点

（1）求椭圆的方程；

（2）求的取值范围；

（3）求证直线与轴始终围成一个等腰三角形。

Answer 1

    解析：（1）设椭圆方程为

则解得所以椭圆方程

（2）因为直线平行于OM，且在轴上的截距为

又，所以的方程为：

由

因为直线与椭圆交于两个不同点，

所以的取值范围是。

（3）设直线的斜率分别为，只要证明即可

设，则

由

可得

而

故直线MA、MB与轴始终围成一个等腰三角形。