题目内容

已知F是双曲线 $数学公式$ 的一个焦点，过F作一条与坐标轴不垂直，且与渐进线也不平行的直线l，交双曲线于A，B两点，线段AB的中垂线l′交x轴于M点．
（1）设F为右焦点，l的斜率为1，求l′的方程；
（2）试判断 $数学公式$ 是否为定值，说明理由．

解：（1）由题意得F（5，0），所以l的方程为y=x-5与双曲线方程联立，消元可得7x²-160x+544=0
∴线段AB的中点坐标为（ $\text{[math]}$ ），
∴l′的方程为x+y- $\text{[math]}$ =0 …（5分）
（2）不失一般性，F取为（5，0）．
设直线AB的方程为y=k（x-5）（k≠0，k≠ $\text{[math]}$ ），A，B两点的坐标为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
直线方程与双曲线方程联立，消元可得（9-16k²）x²+160k²x-400k²-144=0
∴x₁+x₂= $\text{[math]}$ ，x₁x₂=- $\text{[math]}$
∴|AB|= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
线段AB的中点坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
∴线段AB的中垂线方程为y+ $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ （x+ $\text{[math]}$ ），
∴M的坐标为（ $\text{[math]}$ ，0）
∴|FM|=| $\text{[math]}$ -5|= $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 是一个常数 …（13分）
分析：（1）l的方程与双曲线方程联立，确定线段AB的中点坐标，即可求得l′的方程；
（2）不失一般性，F取为（5，0）．设直线AB的方程与双曲线方程联立，利用韦达定理，求得|AB|，线段AB的中点坐标，可得线段AB的中垂线方程，从而可得M的坐标，进而可求 $\text{[math]}$ 是一个常数．
点评：本题考查直线的方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查两点间的距离公式，属于中档题．