题目内容
已知F是双曲线
-
=1的一个焦点,过F作一条与坐标轴不垂直,且与渐进线也不平行的直线l,交双曲线于A,B两点,线段AB的中垂线l′交x轴于M点.
(1)设F为右焦点,l的斜率为1,求l′的方程;
(2)试判断
是否为定值,说明理由.
x2 |
16 |
y2 |
9 |
(1)设F为右焦点,l的斜率为1,求l′的方程;
(2)试判断
|AB| |
|FM| |
分析:(1)l的方程与双曲线方程联立,确定线段AB的中点坐标,即可求得l′的方程;
(2)不失一般性,F取为(5,0).设直线AB的方程与双曲线方程联立,利用韦达定理,求得|AB|,线段AB的中点坐标,可得线段AB的中垂线方程,从而可得M的坐标,进而可求
是一个常数.
(2)不失一般性,F取为(5,0).设直线AB的方程与双曲线方程联立,利用韦达定理,求得|AB|,线段AB的中点坐标,可得线段AB的中垂线方程,从而可得M的坐标,进而可求
|AB| |
|FM| |
解答:解:(1)由题意得F(5,0),所以l的方程为y=x-5与双曲线方程联立,消元可得7x2-160x+544=0
∴线段AB的中点坐标为(
,
),
∴l′的方程为x+y-
=0 …(5分)
(2)不失一般性,F取为(5,0).
设直线AB的方程为y=k(x-5)(k≠0,k≠±
),A,B两点的坐标为(x1,y1),(x2,y2),
直线方程与双曲线方程联立,消元可得(9-16k2)x2+160k2x-400k2-144=0
∴x1+x2=
,x1x2=-
∴|AB|=
|x1-x2|=
线段AB的中点坐标为(
,
),
∴线段AB的中垂线方程为y+
=-
(x+
),
∴M的坐标为(
,0)
∴|FM|=|
-5|=
∴
=
是一个常数 …(13分)
∴线段AB的中点坐标为(
80 |
7 |
45 |
7 |
∴l′的方程为x+y-
125 |
7 |
(2)不失一般性,F取为(5,0).
设直线AB的方程为y=k(x-5)(k≠0,k≠±
3 |
4 |
直线方程与双曲线方程联立,消元可得(9-16k2)x2+160k2x-400k2-144=0
∴x1+x2=
-160k2 |
9-16k2 |
400k2+144 |
9-16k2 |
∴|AB|=
1+k2 |
72(1+k2) |
|9-16k2| |
线段AB的中点坐标为(
-80k2 |
9-16k2 |
-45k |
9-16k2 |
∴线段AB的中垂线方程为y+
45k |
9-16k2 |
1 |
k |
80k2 |
9-16k2 |
∴M的坐标为(
-125k2 |
9-16k2 |
∴|FM|=|
-125k2 |
9-16k2 |
45(1+k2) |
|9-16k2| |
∴
|AB| |
|FM| |
8 |
5 |
点评:本题考查直线的方程,考查直线与双曲线的位置关系,考查两点间的距离公式,属于中档题.

练习册系列答案
相关题目