题目内容

已知F是双曲线
x2
16
-
y2
9
=1
的一个焦点,过F作一条与坐标轴不垂直,且与渐进线也不平行的直线l,交双曲线于A,B两点,线段AB的中垂线l′交x轴于M点.
(1)设F为右焦点,l的斜率为1,求l′的方程;
(2)试判断
|AB|
|FM|
是否为定值,说明理由.
分析:(1)l的方程与双曲线方程联立,确定线段AB的中点坐标,即可求得l′的方程;
(2)不失一般性,F取为(5,0).设直线AB的方程与双曲线方程联立,利用韦达定理,求得|AB|,线段AB的中点坐标,可得线段AB的中垂线方程,从而可得M的坐标,进而可求
|AB|
|FM|
是一个常数.
解答:解:(1)由题意得F(5,0),所以l的方程为y=x-5与双曲线方程联立,消元可得7x2-160x+544=0
∴线段AB的中点坐标为(
80
7
45
7
),
∴l′的方程为x+y-
125
7
=0 …(5分)
(2)不失一般性,F取为(5,0).
设直线AB的方程为y=k(x-5)(k≠0,k≠±
3
4
),A,B两点的坐标为(x1,y1),(x2,y2),
直线方程与双曲线方程联立,消元可得(9-16k2)x2+160k2x-400k2-144=0
∴x1+x2=
-160k2
9-16k2
,x1x2=-
400k2+144
9-16k2

∴|AB|=
1+k2
|x1-x2|
=
72(1+k2)
|9-16k2|

线段AB的中点坐标为(
-80k2
9-16k2
-45k
9-16k2
),
∴线段AB的中垂线方程为y+
45k
9-16k2
=-
1
k
(x+
80k2
9-16k2
),
∴M的坐标为(
-125k2
9-16k2
,0)
∴|FM|=|
-125k2
9-16k2
-5|=
45(1+k2)
|9-16k2|

|AB|
|FM|
=
8
5
是一个常数 …(13分)
点评:本题考查直线的方程,考查直线与双曲线的位置关系,考查两点间的距离公式,属于中档题.
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