题目内容
已知F是双曲线
-
=1的一个焦点，过F作一条与坐标轴不垂直，且与渐进线也不平行的直线l，交双曲线于A，B两点，线段AB的中垂线l′交x轴于M点．
（1）设F为右焦点，l的斜率为1，求l′的方程；
（2）试判断
是否为定值，说明理由．
| x2 |
| 16 |
| y2 |
| 9 |
（1）设F为右焦点，l的斜率为1，求l′的方程；
（2）试判断
| |AB| |
| |FM| |
分析：（1）l的方程与双曲线方程联立，确定线段AB的中点坐标，即可求得l′的方程；
（2）不失一般性，F取为（5，0）．设直线AB的方程与双曲线方程联立，利用韦达定理，求得|AB|，线段AB的中点坐标，可得线段AB的中垂线方程，从而可得M的坐标，进而可求
是一个常数．
（2）不失一般性，F取为（5，0）．设直线AB的方程与双曲线方程联立，利用韦达定理，求得|AB|，线段AB的中点坐标，可得线段AB的中垂线方程，从而可得M的坐标，进而可求
| |AB| |
| |FM| |
解答：解：（1）由题意得F（5，0），所以l的方程为y=x-5与双曲线方程联立，消元可得7x2-160x+544=0
∴线段AB的中点坐标为（
，
），
∴l′的方程为x+y-
=0 …（5分）
（2）不失一般性，F取为（5，0）．
设直线AB的方程为y=k（x-5）（k≠0，k≠±
），A，B两点的坐标为（x1，y1），（x2，y2），
直线方程与双曲线方程联立，消元可得（9-16k2）x2+160k2x-400k2-144=0
∴x1+x2=
，x1x2=-
∴|AB|=
|x1-x2|=
线段AB的中点坐标为（
，
），
∴线段AB的中垂线方程为y+
=-
（x+
），
∴M的坐标为（
，0）
∴|FM|=|
-5|=
∴
=
是一个常数 …（13分）
∴线段AB的中点坐标为（
| 80 |
| 7 |
| 45 |
| 7 |
∴l′的方程为x+y-
| 125 |
| 7 |
（2）不失一般性，F取为（5，0）．
设直线AB的方程为y=k（x-5）（k≠0，k≠±
| 3 |
| 4 |
直线方程与双曲线方程联立，消元可得（9-16k2）x2+160k2x-400k2-144=0
∴x1+x2=
| -160k2 |
| 9-16k2 |
| 400k2+144 |
| 9-16k2 |
∴|AB|=
| 1+k2 |
| 72(1+k2) |
| |9-16k2| |
线段AB的中点坐标为（
| -80k2 |
| 9-16k2 |
| -45k |
| 9-16k2 |
∴线段AB的中垂线方程为y+
| 45k |
| 9-16k2 |
| 1 |
| k |
| 80k2 |
| 9-16k2 |
∴M的坐标为（
| -125k2 |
| 9-16k2 |
∴|FM|=|
| -125k2 |
| 9-16k2 |
| 45(1+k2) |
| |9-16k2| |
∴
| |AB| |
| |FM| |
| 8 |
| 5 |
点评：本题考查直线的方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查两点间的距离公式，属于中档题．
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