题目内容
已知函数
.
(1) 当
时，求函数
的单调区间和极值；
(2) 若
在
上是单调函数，求实数a的取值范围.
【解析】本试题考查了导数在研究函数中的运用。利用导数判定函数的单调性和求解函数的极值，以及运用逆向思维，求解参数取值范围的问题。
【答案】
(1) 易知，函数
的定义域为
.
当
时，
.
当x变化时，
和的值的变化情况如下表：
|
x |
（0,1） |
1 |
（1，+∞） |
|
|
- |
0 |
+ |
|
|
递减 |
极小值 |
递增 |
由上表可知，函数的单调递减区间是（0,1）、单调递增区间是（1，+∞）、
极小值是
（ 5 分 ）
(2) 由
，得
.
①若函数 为
上单调增函数， 则
在上恒成立，即不等式
在上恒成立. 也即
在上恒成立.又
在上为减函数，
. 所以
.
② 若函数 为上单调减函数， 则
在上恒成立，即
在上恒成立.又在上为减函数，
不存在最小值. 所以
不成立.
综上
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