Question

已知函数f(x)=

x-a

x-2

，
（1）若a∈N，且函数f（x）在区间（2，+∞）上是减函数，求a的值；
（2）若a∈R，且函数f（x）=-x恰有一根落在区间（-2，-1）内，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）用分离常数法把f（x）化简，再用复合函数的单调性求a的值
（2）转化为F（x）=f（x）+x在区间（-2，-1）内有一根，再利用F（x）在区间（-2，-1）上两端点值一正一负求a的取值范围

解答：解：（1）f(x)=

x-a

x-2

=1+

2-a

x-2

，由于函数在（2，+∞）上递减，所以2-a＞0，即a＜2，
又a∈N，所以a=0，或者a=1
a=0时，f(x)=1+

2

x-2

；a=1时，f(x)=1+

1

x-2

故  a=0，或者a=1
（2）令F（x）=f（x）+x=

x-a

x-2

+x=x+1+

2-a

x-2

F(-2)=-1+

2-a

-4

=

6-a

-4

F(-1)=

2-a

-3

当F(-2)•F(-1)=

6-a

-4

•

2-a

-3

＜0时，
即（a-2）（a-6）＜0，2＜a＜6时函数可能有一根在所给区间中．
（或用根与系数的关系）
故  2＜a＜6

点评：对函数零点存在的判断中，必须强调：①函数在给定区间上连续，②在区间的两端点值一正一负．