题目内容

（2009•上海）我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星（其半径R=34百公里）的中心F为一个焦点的椭圆．如图，已知探测器的近火星点（轨道上离火星表面最近的点）A到火星表面的距离为8百公里，远火星点（轨道上离火星表面最远的点）B到火星表面的距离为800百公里．假定探测器由近火星点A第一次逆时针运行到与轨道中心O的距离为
ab
百公里时进行变轨，其中a、b分别为椭圆的长半轴、短半轴的长，求此时探测器与火星表面的距离（精确到1百公里）．
分析：利用待定系数法，先求出轨道方程，再利用探测器由近火星点A第一次逆时针运行到与轨道中心O的距离为
ab
百公里时进行变轨，可求探测器位置的坐标，从而可求探测器在变轨时与火星表面的距离．
解答：解：设所求轨道方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1  ( a＞b＞0 )，c=
a2-b2
．
∵a+c=800+34，a-c=8+34，
∴a=438，c=396．…（4分）
于是 b2=a2-c2=35028．
∴所求轨道方程为 
x2
191844
+
y2
35028
=1．…（8分）
设变轨时，探测器位于P（x0，y0），则x02+y02=ab=81975.1，
又
x
2
0
191844
+
y
2
0
35028
=1，
解得 x0=239.7，y0=156.7．…（11分）
∴探测器在变轨时与火星表面的距离为
(x0-c)2+
y
2
0
-R≈187.3．…（14分）
答：探测器在变轨时与火星表面的距离约为187百公里．…（16分）
点评：本题以实际问题为载体，考查椭圆方程的运用，解题的关键是求出椭圆方程，利用探测器由近火星点A第一次逆时针运行到与轨道中心O的距离为
ab
百公里时进行变轨，求出探测器位置的坐标
练习册系列答案
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3
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c=
2
6
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2
6
．

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