题目内容

函数f（x）=2cos2x+sin2x-1，给出下列四个命题：
①函数在区间[
π
8
，
5π
8
]上是减函数；
②直线x=
π
8
是函数图象的一条对称轴；
③函数f（x）的图象可由函数y=
2
sin2x的图象向左平移
π
4
个单位长度而得到；
④若x∈[0，
π
2
]，则f（x）的值域是[-1，
2
]．
其中所有正确命题的序号是
①②④
①②④
．
分析：化简函数为同角同名函数，利用2cos2x-1=cos2x，sin2x+cos2x=）=
2
sin（2x+
π
4
）．再利用正弦函数的性质，对称轴方程x=kπ+
π
2
，k∈z；递减区间为[2kπ+
π
2
，2kπ+
3π
2
]，k∈z，及函数图象的变化规律解决．
解答：解：首先对函数进行化简，f（x）=2cos2x+sin2x-1=sin2x+cos2x=
2
（sin2xcos
π
4
+cos2xsin
π
4
）=
2
sin（2x+
π
4
）．
对①，令2x+
π
4
=kπ+
π
2
，得对称轴方程x=
kπ
2
+
π
8
，k∈z，∴②正确；
对①，令2kπ+
π
2
＜2x+
π
4
＜2kπ+
3π
2
，得 kπ+
π
8
＜x＜kπ+
5π
8
，k∈z．函数的递减区间为[kπ+
π
8
，kπ+
5π
8
]，k∈z，∴①√；
对③，平移的单位应是
π
8
，∴③×．
对④，当x∈[0，
π
8
]时f（x）单调递增，当x∈[
π
8
，
π
2
]时单调递减，f（
π
8
）=
2
，f（
π
2
）=-1∴值域是[-1，
2
]，∴④√．
故答案是①②④
点评：牢记三角函数的性质及图象变化规律，利用整体代入求解复合函数的对称轴、单调区间、值域是本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
在下列命题中：①已知两条不同直线m、n两上不同平面α，β，m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；②函数y=sin（2x-
π
6
）图象的一个对称中心为点（
π
3
，0）；③若函数f（x）在R上满足f（x+1）=
1
f(x)
，则f（x）是周期为2的函数；④在△ABC中，若
OA
+
OB
=2
CO
，则S△ABC=S△BOC其中正确命题的序号为
 
．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网