题目内容
设A,B分别为椭圆
(1)求椭圆的方程;
(2)设点P为椭圆上不同于A,B的一个动点,直线PA,PB与椭圆右准线相交于M,N两点,在x轴上是否存在点Q,使得

【答案】分析:(1)由题意,知a=2c,
=4,求出a,b 即得出椭圆的方程
(2)设P(2cosθ,sinθ),M(4,m),N(4,n),设Q(t,0)利用向量坐标表示及数量积运算,由
,列出关于t的方程,判断出解得情况,解得答案.
解答:解:(1)由题意,知a=2c,=4,解得a=2,c=1,∴b=,故椭圆方程为
…(5分)
(2)设P(2cosθ,sinθ),M(4,m),N(4,n),则A(-2,0),B(2,0),
由A、P、M三点共线,得m=
…(7分)
由B、P、N三点共线,得n=
,…(9分)
设Q(t,0),则由
得
(t-4)(t-4)+(0-
)(0-
)=0,
整理得:(t-4)2-9=0 解得t=1或t=7
∴Q点的坐标是(7,0)或(1,0).…(12分)
点评:本题考椭圆的方程求解,向量的运算,及探索性问题,用到了方程思想.

(2)设P(2cosθ,sinθ),M(4,m),N(4,n),设Q(t,0)利用向量坐标表示及数量积运算,由

解答:解:(1)由题意,知a=2c,=4,解得a=2,c=1,∴b=,故椭圆方程为

(2)设P(2cosθ,sinθ),M(4,m),N(4,n),则A(-2,0),B(2,0),
由A、P、M三点共线,得m=

由B、P、N三点共线,得n=

设Q(t,0),则由

(t-4)(t-4)+(0-


整理得:(t-4)2-9=0 解得t=1或t=7
∴Q点的坐标是(7,0)或(1,0).…(12分)
点评:本题考椭圆的方程求解,向量的运算,及探索性问题,用到了方程思想.

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