Question

已知点P是椭圆

x2

1+a2

+

y2

a2

=1与双曲线

x2

1-a2

-

y2

a2

=1的交点，F1，F2是椭圆焦点，则cos∠F₁PF₂=

0

．

Answer 1

分析：由题意可得，椭圆与双曲线的焦点相同且F₁F₂=2，结合由椭圆的 定义可知，PF1+PF2=2

1+a2

，双曲线的定义可知，|PF1-PF2|=2

1-a2

，从而可得PF12+PF22F2F12可求

解答：解：由题意可得，椭圆与双曲线的焦点相同且F₁F₂=2
由椭圆的 定义可知，PF1+PF2=2

1+a2

，
由双曲线的定义可知，|PF1-PF2|=2

1-a2

上式两边同时平方相加可得2（PF12+PF22）=8
即PF12+PF22=4
∵F2F12=4
∴PF12+PF22F2F12
∴cos∠F₁PF₂=0
故答案为：0

点评：本题主要考查了椭圆与双曲线的定义的简单应用，解题的关键是对所给的式子进行灵活的变形