Question

已知点F是椭圆

x2

1+a2

+y2=1(a＞0)右焦点，点M（m，0）、N（0，n）分别是x轴、y轴上的动点，且满足

MN

•

NF

=0，若点P满足

OM

=2

ON

+

PO

．
（1）求P点的轨迹C的方程；
（2）设过点F任作一直线与点P的轨迹C交于A、B两点，直线OA、OB与直线x=-a分别交于点S、T（其中O为坐标原点），试判断

FS

•

FT

是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设点P（x，y），由题意可知，点F的坐标为（a，0），

MN

•

NF

=-am-n2=0，由

OM

=2

ON

+

PO

得

x=-m y=2n

，消去n与m可得y²=4ax．
（2）设过F点的直线l方程为：y=k（x-a），与轨迹C交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点，得：k²x²-（2ka+4a）x+k²a²=0，则x₁x₂=a²，y₁y₂=-4a²．得直线OA的方程为：y=

y1

x1

x，所以点S为(-a，-

y1

x1

a)；同理得点T为(-a，-

y2

x2

a)；表示出

FS

•

FT

即可得到答案．

解答：解：（1）设点P（x，y），由题意可知，点F的坐标为（a，0），
则

MN

=(-m，n)，

NF

=(a，-n)，

MN

•

NF

=-am-n2=0①，
由

OM

=2

ON

+

PO

得：（x，y）=（-m，2n），即

x=-m y=2n

②，
将②式代入①式得：y²=4ax
（2）设过F点的直线l方程为：y=k（x-a），与轨迹C交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点，
联立

y2=4ax y=k(x-a)

得：k²x²-（2ka+4a）x+k²a²=0，
则x₁x₂=a²，y1y2=-

16a2•x1x2

=-4a2．
由于直线OA的方程为：y=

y1

x1

x，则点S的坐标为(-a，-

y1

x1

a)；
同理可得点T的坐标为(-a，-

y2

x2

a)；
故

FS

=(-2a，-

y1

x1

a)，

FT

=(-2a，-

y2

x2

a)，
则

FS

•

FT

=4a2+

y1y2

x1x2

a2=0．

点评：解决此类题目的关键是熟练掌握求轨迹方程的方法（消参法），以及设点利用点表示有关的向量的表达式即可，此题对计算能力要求较高．