题目内容
如图,在三棱拄中,
侧面
,已知AA1=2,
,
.
(1)求证:;
(2)试在棱(不包含端点
上确定一点
的位置,使得
;
(3)在(2)的条件下,求二面角的平面角的正切值.
【答案】
(1)见解析
(2)见解析 (3)
【解析】(I)根据线面垂直的判定定理只需证明和
即可.
(2) 易证,然后设CE=x,则
,则
,
又因为,则
,在直角三角形BEB1中根据勾股定理建立关于x的方程,解出x的值,确定E为位置.
(3)本小题可以考虑向量法.求出两个面的法向量,再求法向量的夹角,根据法向量的夹角与二面角相等或互补求二面角
(1)因为侧面
,故
.
在△BC1C中,.
由余弦定理有 .
故有 而
且
平面
.…….……………4分
(2)由
从而 且
故
不妨设 ,则
,则
又 则
,
在直角三角形BEB1中有, 从而
故为
的中点时,
.……………9分
法二:以为原点
为
轴,设
,
则由
得
即
.
化简整理得
或
当
时
与
重合不满足题意
当时
为
的中点故
为
的中点使
. ……….…9分
(3)取的中点
,
的中点
,
的中点
,
的中点
.连
则
,连
则
,
连则
,连
则
,且
为矩形,
.
又.
故
为所求二面角的平面角.
在中,
.
.
.…………15分
法二:由已知,
所以二面角
的平面角
的大小为向量
与
的夹角.因为
,
.
故

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