题目内容

如图,在三棱拄中,侧面,已知AA1=2,,

(1)求证:

(2)试在棱(不包含端点上确定一点的位置,使得

(3)在(2)的条件下,求二面角的平面角的正切值.

 

【答案】

(1)见解析    (2)见解析    (3)

【解析】(I)根据线面垂直的判定定理只需证明即可.

(2) 易证,然后设CE=x,则 ,则,

又因为,则,在直角三角形BEB1中根据勾股定理建立关于x的方程,解出x的值,确定E为位置.

(3)本小题可以考虑向量法.求出两个面的法向量,再求法向量的夹角,根据法向量的夹角与二面角相等或互补求二面角

(1)因为侧面,故

   在△BC1C中,

由余弦定理有

故有  而 且平面

.…….……………4分

(2)由

从而  且 故

 不妨设  ,则,则 

  则

在直角三角形BEB1中有,   从而

的中点时,.……………9分

 法二:以为原点轴,设

得    即

 

化简整理得       或 重合不满足题意

的中点故的中点使. ……….…9分

(3)取的中点的中点

的中点的中点.连,连

,连,且为矩形,

. 故为所求二面角的平面角.

中,

.…………15分

法二:由已知, 所以二面角的平面角的大小为向量的夹角.因为,  

 

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