Question

设数列{a_n}是以展开式的常数项为首项，并且以椭圆3x²+4y²-6x-9=0的离心率为公比的无穷等比数列，为________．

Answer 1

-40
分析：利用二项式展开式的通项公式求出a₁=-20，再求出椭圆的离心率为，求出此等比数列的前n项和，利用数列极限的运算法则求出结果．
解答：∵展开式的通项T_r+1=C₆^r =，
令r=3 可得常数项为-20，即a₁=-20．
椭圆3x²+4y²-6x-9=0即，离心率为，故数列{a_n} 的公比的等于．
此等比数列的前n项和为 a₁+a₂+…+a_n==-40（1- ）．
∴==-40，
故答案为：-40．
点评：本题考查求二项式展开式的某项的系数，椭圆的简单性质，等比数列的前n项和公式，以及数列极限的运算法则，求出 a₁+a₂+…+a_n=-40（1- ），是解题的关键和难点．