Question

设数列{a_n}是以(

x

-

1

x

)6展开式的常数项为首项，并且以椭圆3x²+4y²-6x-9=0的离心率为公比的无穷等比数列，

lim

n→∞

(a1+a2+…+an)为______．

Answer 1

∵(

x

-

1

x

)6展开式的通项T_r+1=C₆^r 

x

6-r (-

x

)-r=(-1)r

C

6r

 x

6-2r

2

，
令r=3 可得常数项为-20，即a₁=-20．
 椭圆3x²+4y²-6x-9=0即

(x-1)2

4

+

y2

3

=1，离心率为

1

2

，故数列{a_n} 的公比的等于

1

2

．
此等比数列的前n项和为 a₁+a₂+…+a_n=

-20[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=-40（1-

1

2n

 ）．
∴

lim

n→∞

(a1+a2+…+an)=

lim

n→∞

-40( 1-

1

2n

)=-40，
故答案为：-40．