Question

7．如图，在直角梯形ABCD中，AB=BC=2，CD=1，AB∥CD，AD⊥AB．点P是直角梯形内任意一点．若$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$≤0，则点P所在区域的面积是$\frac{π}{3}+\frac{\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 可以先据题意建立平面直角坐标系，然后给出已知点与所求的点的坐标，然后根据条件列出动点P满足的关系式，研究其几何意义，再进一步求区域面积．

解答 解：因为在直角梯形ABCD中，AB=BC=2，CD=1，AB∥CD，AD⊥AB．
所以$AD=\sqrt{B{C}^{2}-（AB-CD）^{2}}=\sqrt{3}$．
建立如图所示的平面直角坐标系，设P（x，y）
则据已知可得A（0，0），B（2，0），C（1，$\sqrt{3}$），D（0，$\sqrt{3}$）．
所以$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=（-x，-y）•（2-x，-y）≤0$，
即（x-1）²+y²≤1①，设圆心T（1，0），r=1．
易得直线BC的方程为$\sqrt{3}x+y-2\sqrt{3}=0$②．
联立①②消去y得2x²-7x+6=0，解得$x=\frac{3}{2}$或x=2．
所以直线BC与圆的交点为M（$\frac{3}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$），N（2，0）．
所以弦长为$\sqrt{（\frac{3}{2}-2）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}-0）^{2}}=1$．所以$∠MTN=\frac{π}{3}$．
所以所求面积为$\frac{1}{2}×{1}^{2}×\frac{2}{3}π+\frac{1}{2}×{1}^{2}×sin\frac{π}{3}=\frac{π}{3}+\frac{\sqrt{3}}{4}$．

故答案为$\frac{π}{3}+\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了平面向量在几何问题中的应用，一般来说，能建系的尽量建系．