题目内容
如图，在半径为R、圆心角为
的扇形金属材料中剪出一个长方形EPQF，并且EP与∠AOB的平分线OC平行，设∠POC=θ．（1）试写出用θ表示长方形EPQF的面积S（θ）的函数．
（2）现用EP和FQ作为母线并焊接起来，将长方形EFPQ制成圆柱的侧面，能否从△OEF中直接剪出一个圆面作为圆柱形容器的底面？如果不能请说明理由．如果可能，求出侧面积最大时容器的体积．
【答案】分析：（1）求长方形EPQF的面积，在Rt△OPC中，OP=R，∠POC=θ；易得PC，OC；从而求得EF，EP；
（2）制成圆柱的底面周长为EF，半径可求，△OEF的内切圆半径可求，两半径比较得出结论．
由长方形EPQF制成圆柱的侧面面积为 S（θ），由三角函数的运算与性质，可以求出最大值，此时
；
当
时，求出圆柱体的体积即可．
解答：解：如图，（1）在长方形EPQF中，EF=PQ=2PC=2Rsinθ，
EP=Rcosθ-EF•sin60°=Rcosθ-2Rsinθ•
=Rcosθ-
；
所以长方形EPQF的面积为：S（θ）=EF•EP=2Rsinθ（Rcosθ-
）．
（2）依题意制成圆柱的底面周长l=EF=2Rsinθ，则其半径为r底=
，
在△OEF中，EF=OE=OF=2Rsinθ，
故内切圆半径r内=
，而
，即r内＞r底；
所以能从△OEF中直接剪出一个圆面作为圆柱形容器的底面．
由长方形EPQF制成圆柱的侧面，面积为；
S（θ）=2R2sinθcosθ-2
R2sin2θ
=R2•sin2θ-
•R2•（1-cos2θ）
=R2•（sin2θ+
cos2θ）-
=R2•2sin
-
，
；
当
，即
时，侧面积S（θ）取得最大值，
此时圆柱的体积为：V=S底•h=
=
sinθ2•
=
•
•
=
•
•
=
•
•
=
．
点评：本题用柱体的侧面积和体积作为载体，重点考查了三角函数的运算与性质，求侧面积 S（θ）的最大值和柱体的体积时，考查了两角和与差的运算，且运算量较大，是易错题．
（2）制成圆柱的底面周长为EF，半径可求，△OEF的内切圆半径可求，两半径比较得出结论．
由长方形EPQF制成圆柱的侧面面积为 S（θ），由三角函数的运算与性质，可以求出最大值，此时
；当
时，求出圆柱体的体积即可．解答：解：如图，（1）在长方形EPQF中，EF=PQ=2PC=2Rsinθ，
EP=Rcosθ-EF•sin60°=Rcosθ-2Rsinθ•
=Rcosθ-；所以长方形EPQF的面积为：S（θ）=EF•EP=2Rsinθ（Rcosθ-
）．（2）依题意制成圆柱的底面周长l=EF=2Rsinθ，则其半径为r底=
，在△OEF中，EF=OE=OF=2Rsinθ，
故内切圆半径r内=
，而，即r内＞r底；所以能从△OEF中直接剪出一个圆面作为圆柱形容器的底面．
由长方形EPQF制成圆柱的侧面，面积为；
S（θ）=2R2sinθcosθ-2
R2sin2θ=R2•sin2θ-
•R2•（1-cos2θ）=R2•（sin2θ+
cos2θ）-=R2•2sin
-，；当
，即时，侧面积S（θ）取得最大值，此时圆柱的体积为：V=S底•h=
=
sinθ2•=••=
••=••=．点评：本题用柱体的侧面积和体积作为载体，重点考查了三角函数的运算与性质，求侧面积 S（θ）的最大值和柱体的体积时，考查了两角和与差的运算，且运算量较大，是易错题．
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如图，在半径为r的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设Sn为前n个圆的面积之和，则| lim |
| n→∞ |
| A、2πr2 | ||
B、
| ||
| C、4πr2 | ||
| D、6πr2 |
如图，在半径为R的圆内随机撒一粒黄豆，它落在阴影部分内接正三角形上的概率是（ ）A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|
如图，在半径为r的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设Sn为前n个正六边形的面积之和，则
为前n个圆的面积之和，则
B．
为前n 
B.
C.
D.