Question

在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体（如图），则截去8个三棱锥后，求剩下的几何体的体积与原正方体体积比．

Answer 1

分析：由题意，被截得的三棱锥是三条侧棱都等于

1

2

的正三棱锥，且三条侧棱两两垂直．由此可得被截得的三棱锥体积为

1

48

，结合正方体的体积公式，不难得到剩下的几何体的体积与原正方体体积比．

解答：解：根据题意，被截得的三棱锥是三条侧棱都等于

1

2

的正三棱锥
∵正三棱锥三条侧棱两两垂直，且长度都为

1

2

∴以一个侧面为底时，它的高等于

1

2

，此时的底面积S=

1

2

×

1

2

×

1

2

=

1

8

，
∴该三棱锥的体积为V₁=

1

3

×

1

8

×

1

2

=

1

48

∵在正方体的8个角都截去一个如图的三棱锥
∴截去8个三棱锥后，求剩下的几何体的体积V=V_正方体-8V₁=1×1×1-

1

48

×8=

5

6

由此可得，剩下的几何体的体积与原正方体体积比为

5

6

：1=5：6．

点评：本题将正方体沿8个顶点截去8个三棱锥，求剩余几何体与正方体的体积之比，着重考查了正方体的性质和锥体体积求法等知识，属于基础题．