题目内容
由坐标原点O向函数y=x3 -3x2的图象W引切线l1,切点P1(x1,y1) (P1,O不重合），再由点P1引W的切线l2，切点为P2(x2,y2) (P1, P2不重合），…，如此继续下去得到点列{Pn(xn,yn)}.
（1）求x1的值；
（2）求xn与xn+1满足的关系式；
（3）求
的值。
解：（1）∵y=x3 -3x2，∴y′=3x2-6x,
∵过点P1(x1,y1) 的切线l1的方程为y-( 
)= (
)(x-x1), 又l1过点O(0,0),
∴-(
)=-x1(),∴
,∴x1=
或x1=0.
∵P1与O不重合, ∴x1=.
(2) ∵过点Pn+1(xn+1,yn+1) 的切线ln+1的方程为
=
(x-xn+1), 又ln+1过点Pn(xn,yn), ∴
=(xn-xn+1), 整理得(xn-xn+1)2 (xn+2xn+1)-3(xn-xn+1)2=0,
由已知得xn≠xn+1, ∴xn+2xn+1=3.
(3) ∵xn+1=
∴xn+1-1=
,∴{xn-1}是以x1-1=
为首项,- 为公比的等比数列,
∴xn-1=(-)n-1, ∴xn=1-(-)n ∴
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的切线l2，切点为P2(x2，y2)(P1,P2不重合)，
如此继续下去得到点列{Pn(xn，yn)}