Question

抛物线的准线的方程为，该抛物线上的每个点到准线的距离都与到定点N的距离相等，圆N是以N为圆心，同时与直线和相切的圆．

（1）求定点N的坐标； （2）是否存在一条直线同时满足下列条件：

① 分别与直线交于A、B两点，且AB中点为；

② 被圆N截得的弦长为．

Answer 1

解：（1）因为抛物线的准线的方程为

所以，根据抛物线的定义可知：

点N是抛物线的焦点，

所以定点N的坐标为     ………………6分

（2）

解:假设存在直线满足两个条件，显然斜率存在，                

设的方程为，                  

以N为圆心，同时与直线 相切的圆N的

半径为，

因为被圆N截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1， 

即，

解得，           

当时，显然不合AB中点为的条件，矛盾！        

当时，的方程为              

由，

解得点A坐标为，            

由，解得点B坐标为，         

显然AB中点不是，矛盾！            

所以不存在满足条件的直线．        ………………14分