Question

（2012•蓝山县模拟）若函数y=f（x），x∈D同时满足下列条件，（1）在D内为单调函数；（2）存在实数m，n．当x∈[m，n]时，y∈[m，n]，则称此函数为D内等射函数，设f(x)=

ax+a-3

lna

（a＞0，且a≠1）则：
（1）f（x）在（-∞，+∞）的单调性为

增函数

；
（2）当f（x）为R内的等射函数时，a的取值范围是

（0，1）∪（1，2）

．

Answer 1

分析：（1）求出f(x)=

ax+a-3

lna

（a＞0，且a≠1）的导数，由其导数大于0，得到f（x）在R上是增函数．
（2）由f（x）为等射函数，得到a^x-xlna+a-3=0有两个不等实根，令g（x）=a^x-xlna+a-3，求出其导数后进行分类讨论，能够求出a的取值范围．

解答：解：（1）∵f(x)=

ax+a-3

lna

（a＞0，且a≠1），
∴f′(x)=

1

lna

•lna•ax=a^x＞0，
∴f（x）在R上是增函数．
（2）∵f（x）为等射函数，
∴f（x）=

ax+a-3

lna

=x有两个不等实根，
即a^x-xlna+a-3=0有两个不等实根，
令g（x）=a^x-xlna+a-3，
∴g′（x）=a^xlna-lna=lna（a^x-1），
令g′（x）=0，得x=0．
①当a＞1时，x＞0时，g′（x）＞0，x＜0时，g′（x）＜0，
∴g（x）_min=g（0）=1+a-3＜0，
∴a＜2，
故1＜a＜2；
②当0＜a＜1时，x＞0时，g′（x）＞0，x＜0时，g′（x）＜0，
∴g（x）_min=g（0）=1+a-3＜0 得a＜2，
∴0＜a＜1．
综上所述，a∈（0，1）∪（1，2）．
故答案为：增函数，（0，1）∪（1，2）．

点评：本题考查函数的单调性的判断和求实数的取值范围．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化法和分类讨论思想的灵活运用．