Question

定义映射f：A→B，其中A={（m，n）|m，n∈R}，B=R，已知对所有的有序正整数对（m，n）满足下述条件：①f（m，1）=1，②若n＞m，f（m，n）=0；③f（m+1，n）=n[f（m，n）+f（m，n-1）]
则f（2，2）=

2

；f（n，2）=

2ⁿ-2

．

Answer 1

分析：分两步走：①根据给定条件代入计算即可，②连环代入找规律即可得到结论．

解答：解：f（2，2）=f（1+1，2）=2[f（1，2）+f（1，1）]=2，
∴f（2，2）=2；
f（n，2）=2[f（n-1，2）+f（n-1，1）]=2f（n-1，2）+2=2（n-1）f（n-2，2）=…=n!
解：由题意，不妨设m＜n，则
f（n，2）=2[f（n-1，2）+f（n-1，1）]
=2f（n-1，2）+2
=2×2[f（n-2，2）+f（n-1，1）]+2
=2²f（n-2，2）+4+2
=…
=2^n-1f（1，2）+2^n-1+2^n-2+…+4+2
=2^n-1+2^n-2+…+4+2
=2ⁿ-2．
故答案为：2；2ⁿ-2．

点评：本题考查了映射的知识，在做题中注意给定条件的使用以及规律的发现．