Question

由于卫生的要求游泳池要经常换水（进一些干净的水同时放掉一些脏水），游泳池的水深经常变化，已知泰州某浴场的水深y（米）是时间t（0≤t≤24），（单位小时）的函数，记作y=f（t），下表是某日各时的水深数据经长期观测的曲线y=f（t）可近似地看成函数y=Acosωt+b

t（时）	0	3	6	9	12	15	18	21	24
y（米）	2 5	2 0	15	20	249	2	151	199	2 5

（Ⅰ）根据以上数据，求出函数y=Acosωt+b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；
（Ⅱ）依据规定，当水深大于2米时才对游泳爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供游泳爱好者进行运动．

Answer 1

分析：（1）由表中的周期可求ω，再利用两个特殊点可求A=0.5，b=2，，所以可求函数表达式y=

1

2

cos

π

6

t+2．
（2）水深大于2米时才对游泳爱好者开放，

1

2

cos

π

6

t+2＞2，可得-12kπ-3＜t＜12kπ+3，由0≤t≤24，，从而可求时间．

解答：解：（1）由表中数据，知T=12，ω=

2π

T

=

π

6

由t=0，y=2.5得A+b=2.5
由t=3，y=2，得b=2，所以，A=0.5，b=2振幅A=

1

2

，∴y=

1

2

cos

π

6

t+2…．（8分）
（2）由题意知，当y＞2时，才可对冲浪者开放，∴

1

2

cos

π

6

t+2＞2，cos

π

6

t＞0，∴-2kπ-

π

2

＜

π

6

t＜2kπ+

π

2

，
即有-12kπ-3＜t＜12kπ+3，由0≤t≤24，故可令k=0，1，2，得0≤t＜3或9＜t＜15或21≤t≤24…1．（4分）
∴在规定时间内有6个小时可供游泳爱好者运动即上午9 00至下午15 00…．（15分）

点评：本题考查三角函数模型的运用，涉及不等式的求解，属于中档题．