Question

如图，多面体ABCDEF中，平面ADEF⊥平面ABCD，正方形ADEF的边长为2，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=2，CD=4．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面BDE；
（Ⅱ）试在平面CDE上确定点P，欲使点P到直线DC、DE的距离相等，且AP与平面BEF所成的角等于30°．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲证BC⊥平面BDE，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BC与平面BDE内两相交直线垂直，根据面面垂直的性质可知ED⊥平面ABCD，则ED⊥BC，根据勾股定理可知BC⊥BD，满足定理所需条件；
（Ⅱ）DE，DA，DC两两垂直，以D为顶点，DA，DC，DE分别为x轴y轴z轴，建立直角坐标系D-xyz，求出D，A，E，B，F，以及

EF

，

EB

，设P（o，y，z）通过|y|=|z|．设

n

=(x′，y′，z′)是平面BEF的法向量，利用

n • EF =0 n • EB =0

，求出

n

，推出

AP

与

n

所成的角为60°或120°．通过cos＜

AP

，

n

＞=

AP • n

| AP ||  n |

和y|=|z|．求出P的坐标．

解答：解：（Ⅰ）在正方形ADEF中，ED⊥AD．
又因为平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，
所以ED⊥平面ABCD．
所以ED⊥BC．（3分）
在直角梯形ABCD中，AB=AD=1，CD=2，可得BC=

2

．
在△BCD中，BD=BC=

2

，CD=2，
所以BD²+BC²=CD²．
所以BC⊥BD．（5分）
所以BC⊥平面BDE．（6分）
（Ⅱ）DE，DA，DC两两垂直，以D为顶点，DA，DC，DE分别为x轴y轴z轴，建立直角坐标系D-xyz，
则D（0，0，0），A（2，0，0），E（0，0，2），B（2，2，0），F（2，0，2）

EF

=（2，0，0），

EB

=(2，2，-2)设P（o，y，z）则|y|=|z|．
令

n

=(x′，y′，z′)是平面BEF的法向量，则

n • EF =0 n • EB =0

，
∴

2x′=0 2x′+2y′-2z′=0

令y′=1，得

x′=0 y′=1 z′=1

∴

n

=(0，1，1)
∵AP与平面BEF所成的角等于30°
∴

AP

与

n

所成的角为60°或120°．
∴cos＜

AP

，

n

＞=

AP • n

| AP ||  n |

=

|y+z|

4+y2+z2• 2

=

1

2

．
∴y²+z²+4yz-4=0
又∵|y|=|z|．
∴y=z或y=-z，当y=z时y=z=±

6

3

，
当y=-z时，上式无解，
∴P（0，

6

3

，

6

3

），或P（0，-

6

3

，-

6

3

）．

点评：本题考查直线与平面垂直，直线与平面所成的角，空间向量的运算，考查空间想象能力，计算能力已经逻辑推理能力．