Question

圆C的半径为3，圆心C在直线2x+y=0上且在x轴下方，x轴被圆C截得的弦长为．
（1）求圆C的方程；
（2）是否存在斜率为1的直线l，使得以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由圆心C在直线2x+y=0上且在x轴下方，x轴被圆C截得的弦长为可得圆心到x轴的距离为1，则可知C（1，-2），从而可得圆C的方程
（2）设L的方程y=x+b，以AB为直径的圆过原点，则OA⊥OB，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁x₂+y₁y₂=0，联立直线方程与圆的方程，由△=（2+2b）²-4×2（b²+4b-4）＞0 可得＜b＜，由方程的根与系数的关系代入x₁x₂+y₁y₂=0，可求b，从而可求直线方程
解答：解：（1）如图由圆心C在直线2x+y=0上且在x轴下方，x轴被圆C截得的弦长为可得圆心到x轴的距离为2
∴C（1，-2）
∴圆C的方程是（X-1）²+（Y+2）²=9--（4分）
（2）设L的方程y=x+b，以AB为直径的圆过原点，则
OA⊥OB，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
x₁x₂+y₁y₂=0      ①---------------（6分）
由得2x²+（2b+2）x+（b²+4b-4）=0----------（8分）
要使方程有两个相异实根，则
△=（2+2b）²-4×2（b²+4b-4）＞0  即＜b＜---------（9分）
---------------------------（10分）
由y₁=x₁+b，y₂=x₂+b，代入x₁x₂+y₁y₂=0，得2x₁x₂+（x₁+x₂）b+b²=0-------（12分）
即有b²+3b-4=0，b=-4，b=1---------------------------------（13分）
故存在直线L满足条件，且方程为y=x-4或y=x+1----------------------（14分）
点评：本题主要考查了直线与圆相交关系的应用，方程的根与系数关系的应用，属于基本知识的综合应用．