Question

已知f（x）是以2为周期的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x，那么在区间[-1，3]内，关于x的方程f（x）=kx+k+1（k∈R且k≠-1）有4个不同的根，则k的取值范围是（　　）

• A、(-

  1

  4

  ，0)
• B、（-1，0）
• C、(-

  1

  2

  ，0)
• D、(-

  1

  3

  ，0)

Answer 1

分析：把方程f（x）=kx+k+1的根转化为函数f（x）的图象和y=kx+k+1的图象的交点在同一坐标系内画出图象由图可得结论．

解答：解：因为关于x的方程f（x）=kx+k+1（k∈R且k≠-1）有4个不同的根，
就是函数f（x）的图象与y=kx+k+1的图象有4个不同的交点，
f（x）是以2为周期的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x，
所以可以得到函数f（x）的图象
又因为y=kx+k+1=k（x+1）+1过定点（-1，1），
在同一坐标系内画出它们的图象如图，
由图得y=kx+k+1=k（x+1）+1在直线AB和y=1中间时符合要求，
而k_AB=-

1

3

所以k的取值范围是-

1

3

＜k＜0
故选D．

点评：本题考查根的个数的应用和数形结合思想的应用．，数形结合的应用大致分两类：一是以形解数，即借助数的精确性，深刻性来讲述形的某些属性；二是以形辅数，即借助与形的直观性，形象性来揭示数之间的某种关系，用形作为探究解题途径，获得问题结果的重要工具．