题目内容
(本小题共12分)已知函数(
为自然对数的底数),
(
为常数),
是实数集
上的奇函数.(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)讨论关于的方程:
的根的个数;
(Ⅲ)设,证明:
(
为自然对数的底数).
(Ⅰ) 见解析 (Ⅱ) 见解析 (Ⅲ)见解析
解析:
(I)证:令,令
时
时,
. ∴
∴ 即
.
(II)∵是R上的奇函数 ∴
∴
∴ ∴
故
.
故讨论方程在
的根的个数.
即在
的根的个数.
令.注意
,方程根的个数即交点个数.
对,
,
令, 得
, 当
时,
; 当
时,
. ∴
,
当时,
; 当
时,
, 但此时
,此时以
轴为渐近线。
①当即
时,方程无根;
②当即
时,方程只有一个根.
③当即
时,方程有两个根.
(Ⅲ)由(1)知, 令
,
∴,于是
,
∴
.

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