Question

给出问题：已知△ABC满足a•cosA=b•cosB，试判断△ABC的形状，某学生的解答如下：
（i）a•?a²（b²+c²-a²）=b²（a²+c²-b²）?（a²-b²）•c²=（a²-b²）（a²+b²）?c²=a²+b²
故△ABC是直角三角形．
（ii）设△ABC外接圆半径为R，由正弦定理可得，原式等价于2RsinAcosA=2RsinBcosB?sin2A=cos2B?A=B
故△ABC是等腰三角形．
综上可知，△ABC是等腰直角三角形．
请问：该学生的解答是否正确？若正确，请在下面横线中写出解题过程中主要用到的思想方法；若不正确，请在下面横线中写出你认为本题正确的结果________．

Answer 1

等腰或直角三角形
分析：（i）利用余弦定理将角化为边，即可得到结论；（ii）由正弦定理，将边化为角，可得结论．
解答：不正确，解答的两种方法都可得出结论，但都不完整．
（i）a•?a²（b²+c²-a²）=b²（a²+c²-b²）?（a²-b²）•c²=（a²-b²）（a²+b²）?c²=a²+b²或a²-b²=0，故△ABC是等腰或直角三角形；
（ii）设△ABC外接圆半径为R，由正弦定理可得，原式等价于2RsinAcosA=2RsinBcosB?sin2A=sin2B?A=B或A+B=，故△ABC是等腰或直角三角形；
故答案为：等腰或直角三角形
点评：本题考查三角形形状的判断，解题的关键是利用余弦定理、正弦定理进行边角互化．