题目内容
【题目】已知椭圆的离心率为
,且过点
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过椭圆的左焦点的直线
与椭圆
交于
两点,直线
过坐标原点且与直线
的斜率互为相反数.若直线
与椭圆交于
两点且均不与点
重合,设直线
与
轴所成的锐角为
,直线
与
轴所成的锐角为
,判断
与
的大小关系并加以证明.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
.
【解析】试题分析:(Ⅰ)根据椭圆的离心率为
,且过点
,结合性质
,列出关于
、
、
的方程组,求出
、
、
,即可得椭圆
的方程;(Ⅱ)
与
的大小关系只需看两直线斜率之间的关系,设设
,联立
,消去
得
,利用斜率公式以及韦达定理,化简可得
,直线
的倾斜角互补,可得
.
试题解析:(Ⅰ)由题可得,解得
.
所以椭圆的方程为
.
(Ⅱ)结论: ,理由如下:
由题知直线斜率存在,
设.
联立,
消去得
,
由题易知恒成立,
由韦达定理得,
因为与
斜率相反且过原点,
设,
,
联立
消去得
,
由题易知恒成立,
由韦达定理得,
因为两点不与
重合,
所以直线存在斜率
,
则
所以直线的倾斜角互补,
所以.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】寒冷的冬天,某高中一组学生来到一大棚蔬菜基地,研究种子发芽与温度控制技术的关系,他们分别记录五组平均温度及种子的发芽数,得到如下数据:
平均温度 | 11 | 10 | 13 | 9 | 12 |
发芽数 | 25 | 23 | 30 | 16 | 26 |
(Ⅰ)若从五组数据中选取两组数据,求这两组数据平均温度相差不超过概率;
(Ⅱ)求关于
的线性回归方程
;
(Ⅲ)若由线性回归方程得到的估计数据与实际数据的误差不超过2颗,则认为得到的线性回归方程是可靠的,试问(Ⅱ)屮所得的线性回归方程是否可靠?
(注: ,
)
【题目】为了解某校学生参加社区服务的情况,采用按性别分层抽样的方法进行调查.已知该校共有学生960人,其中男生560人,从全校学生中抽取了容量为的样本,得到一周参加社区服务的时间的统计数据好下表:
超过1小时 | 不超过1小时 | |
男 | 20 | 8 |
女 | 12 | m |
(Ⅰ)求,
;
(Ⅱ)能否有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关?
(Ⅲ)以样本中学生参加社区服务时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率,现从该校学生中随机调查6名学生,试估计6名学生中一周参加社区服务时间超过1小时的人数.
附:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
【题目】某市环保部门为了让全市居民认识到冬天烧煤取暖对空气数值的影响,进而唤醒全市人民的环保节能意识。对该市取暖季烧煤天数
与空气
数值不合格的天数
进行统计分析,得出下表数据:
| 9 | 8 | 7 | 5 | 4 |
| 7 | 6 | 5 | 3 | 2 |
(1)以统计数据为依据,求出关于
的线性回归方程
;
(2)根据(1)求出的线性回归方程,预测该市烧煤取暖的天数为20时空气数值不合格的天数.
参考公式:,
.