题目内容

若函数f（x）对于任意的x都有f（x+2）=f（x+1）-f（x）且f（1）=lg3-lg2，f（2）=lg3+lg5，则f（2010）=
-1
-1
．
分析：由已知中函数f（x）对于任意的x都有f （x+2）=f （x+1）-f （x）且f （1）=lg3-lg2，f （2）=lg3+lg5，由此
分别计算f（3），f（4），f（5）…可得函数值以6为周期呈周期性变化，进而得到f （2010）的值．
解答：解：∵f （1）=lg3-lg2，f （2）=lg3+lg5，又∵f （x+2）=f （x+1）-f （x），
∴f （3）=f （2）-f （1）=lg5+lg2=1，f （4）=f （3）-f （2）=lg2-lg3，
f （5）=f （4）-f （3）=-lg3-lg5，f （6）=f （5）-f （4）=-lg5-lg2=-1，
f （7）=f （6）-f （5）=lg3-lg2，f （8）=f （7）-f （6）=lg3+lg5．
故函数值以6为周期呈周期性变化，∴f （2010）=f（6）=-1
故答案为-1．
点评：本题考查的知识点是函数的周期性，函数的值，其中分析出函数值以6为周期呈周期性变化是解答本题的关键，
属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
对于函数f（x），其定义域为D，若任取x1、x2∈D，且x1≠x2，若f（
x1+x2
2
）＞
1
2
[f（x1）+f（x2）]，则称f（x）为定义域上的凸函数．
（1）设f（x）=ax2（a＞0），试判断f（x）是否为其定义域上的凸函数，并说明原因；
（2）若函数f（x）=㏒ax（a＞0，且a≠1）为其定义域上的凸函数，试求出实数a的取值范围．
下列说法中，正确的是（　　）
①对于定义域为R的函数f（x），若函数f（x）满足f（x+1）=f（1-x），则函数f（x）的图象关于x=1对称；
②当a＞1时，任取x∈R都有ax＞a-x；
③“a=1”是“函数f（x）=lg（ax+1）在（0，+∞）上单调递增”的充分必要条件；
④设a∈{-1，1，
1
2
，3}，则使函数y=xa的定义域为R且该函数为奇函数的所有a的值为1，3；
⑤已知a是函数f（x）=2x-log0.5x的零点，若0＜x0＜a，则f（x0）＜0．
对于函数f（x），其定义域为D，若任取x1、x2∈D，且x1≠x2，若f（
x1+x2
2
）＞
1
2
[f（x1）+f（x2）]，则称f（x）为定义域上的凸函数．
（1）设f（x）=ax2（a＞0），试判断f（x）是否为其定义域上的凸函数，并说明原因；
（2）若函数f（x）=㏒ax（a＞0，且a≠1）为其定义域上的凸函数，试求出实数a的取值范围．
下列说法中，正确的是（ ）
①对于定义域为R的函数f（x），若函数f（x）满足f（x+1）=f（1-x），则函数f（x）的图象关于x=1对称；
②当a＞1时，任取x∈R都有ax＞a-x；
③“a=1”是“函数f（x）=lg（ax+1）在（0，+∞）上单调递增”的充分必要条件；
④设a∈{-1，1，，3}，则使函数y=xa的定义域为R且该函数为奇函数的所有a的值为1，3；
⑤已知a是函数f（x）=2x-log0.5x的零点，若0＜x＜a，则f（x）＜0．
A．①④
B．①④⑤
C．②③④
D．①⑤
对于函数f（x），其定义域为D，若任取x1、x2∈D，且x1≠x2，若f（）＞[f（x1）+f（x2）]，则称f（x）为定义域上的凸函数．
（1）设f（x）=ax2（a＞0），试判断f（x）是否为其定义域上的凸函数，并说明原因；
（2）若函数f（x）=㏒ax（a＞0，且a≠1）为其定义域上的凸函数，试求出实数a的取值范围．

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