Question

建造一个容积为8立方米，深为2米的无盖长方体蓄水池，池壁的造价为每平方米100元，池底的造价为每平方米300元，（1）把总造价y（元）表示为底面一边长x（米）的函数，并写出x的定义域；（2）当x何值时，使总造价最低．

Answer 1

分析：（1）长方体蓄水池的容积为8立方米，深为2米，其底面积为4平方米；设底面一边长为x米，则另一边长为

4

x

米；因池壁的造价为每平方米100元，池壁的面积为2（2x+2•

4

x

）平方米，所以池壁的总造价为100•2（2x+2•

4

x

），池底的造价为每平方米300元，池底的面积为4平方米，所以池底的总造价为1200元，故蓄水池的总造价为：y=100•2（2x+2•

4

x

）+1200（其中x＞0）；
（2）由函数y=400（x+

4

x

）+1200，利用基本不等式可得函数y的最小值及对应的x的值．

解答：解：（1）长方体蓄水池的容积为8立方米，深为2米，因此其底面积为4平方米；
设底面一边长为x米，则另一边长为

4

x

米；
因池壁的造价为每平方米100元，池壁的面积为2（2x+2•

4

x

）平方米，因此池壁的总造价为100•2（2x+2•

4

x

）；
池底的造价为每平方米300元，池底的面积为4平方米，池底的总造价为1200元；
所以，蓄水池的总造价为：y=100•2（2x+2•

4

x

）+1200=400•（x+

4

x

）+1200（其中x＞0）．
（2）由函数y=400（x+

4

x

）+1200≥400×2

x • 4 x

+1200=1600+1200=2800，当且仅当x=

4

x

，即x=2时，函数y有最小值y_min=2800，此时总造价最低．

点评：本题考查了长方体模型的应用，也考查了基本不等式a+b≥2

ab

（a＞0，b＞0）的应用，属于基础题目．