Question

如图是一个长方体截去一个角所得的多面体的直观图及它的正（主）视图和侧（左）视图（单位：cm）．
（1）画出该多面体的俯视图；
（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；
（3）在所给直观图中连接BC'，证明：BC'∥平面EFG．

Answer 1

分析：（1）根据几何体的结构特征与它的正（主）视图和侧（左）视图可得其侧视图．
（2）由题意可得：所求多面体体积V=V_长方体-V_正三棱锥．
（3）由原题可得：点G、F分别是正方形的中点，取B′C′与BB′的中点分别为K、H，所以KH∥BC′，即可得到BC′∥EG，根据线面平行的判断定理可得线面平行．

解答：解：（1）如图，俯视图
（2）由题意可得：
所求多面体体积V=V_长方体-V_正三棱锥
=4×4×6-

1

3

×(

1

2

×2×2)×2
=

284

3

(cm3)．
（3）证明：由多面体的侧（左）视图可得：点G、F分别是正方形的中点，
取B′C′与BB′的中点分别为K、H，
所以KH∥BC′，
根据几何体的结构特征可得：KH∥EG，
所以BC′∥EG，
因为EG?平面EFG，BC′?平面EFG，
所以BC'∥平面EFG．

点评：本题主要考查由三视图求面积、体积，求解的关键是由视图得出几何体的长、宽、高等性质，熟练掌握各种类型的几何体求体积的公式；熟练掌握证明线面问题的有关定理．