Question

以下四个命题中，真命题的个数是（　　）
①若p∨q为假命题，则p，q均为假命题；
②命题“若x²-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x²-3x+2≠0”；
③命题“?x∈R，使得x²+x+1＜0”的否定是“?x∈R，都有x²+x+1≥0”；
④在△ABC中，A＜B是sinA＜sinB的充分不必要条件．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①“或”命题的判断方法是：当p，q两个命题有一个命题是真命题时，p∨q为真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p∨q为假命题．据此可以判断出①是真命题．
②由命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”不难判断出②是真命题．
③根据命题“?x∈R，结论p成立”的否定是“?x∈R，结论p的反面成立”可知③是真命题．
④在△ABC中，A＜B?sin

A-B

2

＜0?sinA＜sinB，据此可知：在△ABC中，A＜B是sinA＜sinB的充要条件．

解答：解：①因为“当p，q两个命题都是假命题时p∨q为假命题”，所以由已知“p∨q为假命题”可知：p，q均为假命题，所以①是真命题；
②由命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”可知：命题“若x²-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x²-3x+2≠0”是真命题；
③根据命题“?x∈R，结论p成立”的否定是“?x∈R，结论p的反面成立”可知命题“?x∈R，使得x²+x+1＜0”的否定是“?x∈R，都有x²+x+1≥0”是真命题；
④∵sinA-sinB=2cos

A+B

2

sin

A-B

2

，在△ABC中，∵0＜A+B＜π，∴0＜

A+B

2

＜

π

2

，∴cos

A+B

2

＞0；
由0＜A＜B＜π，得-

π

2

＜

A-B

2

＜0，∴sin

A-B

2

＜0，∴sinA-sinB＜0．反之亦成立．因此，在△ABC中，A＜B是sinA＜sinB的充要条件．故④是假命题．
故①②③是真命题，应选C．

点评：本题考查了复合命题与特称命题的真假，掌握好有关基础知识及判断方法是解决问题的关键．