Question

15．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别是AA₁、AC的中点
（1）求证：MN∥平面BCD₁A₁．
（2）求证：MN⊥C₁D．
（3）求V${\;}_{D-MN{C}_{1}}$．

Answer 1

分析 （1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明MN∥平面BCD₁A₁．
（2）求出$\overrightarrow{MN}$，$\overrightarrow{{C}_{1}D}$，利用向量法能证明MN⊥C₁D．
（3）由V${\;}_{D-MN{C}_{1}}$=${V}_{M-{C}_{1}ND}$，利用等体积法能求出三棱锥D-MNC₁的体积．

解答 （1）证明：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，
M（0，0，1），N（1，1，0），B（2，0，0），C（2，2，0），A₁（0，0，2），
$\overrightarrow{MN}$=（1，1，-1），$\overrightarrow{BC}$=（0，2，0），$\overrightarrow{B{A}_{1}}$=（-2，0，2），
设平面BCD₁A₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{A}_{1}}=-2x+2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），
∵$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{n}$=1+0-1=0，MN?平面BCD₁A₁，
∴MN∥平面BCD₁A₁．
（2）证明：C₁（2，2，2），D（0，2，0），
$\overrightarrow{{C}_{1}D}$=（-2，0，-2），
$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{{C}_{1}D}$=-2+0+2=0，
∴MN⊥C₁D．
（3）解：∵$\overrightarrow{{C}_{1}N}$=（-1，-1，-2），∴$\overrightarrow{{C}_{1}N}•\overrightarrow{MN}$=-1-1+2=0，
∴C₁N⊥MN，又MN⊥C₁D，C₁N∩C₁D=C₁，
∴MN⊥平面C₁ND，
∵$\overrightarrow{ND}$=（-1，1，0），∴$\overrightarrow{ND}$•$\overrightarrow{{C}_{1}N}$=1-1+0=0，∴ND⊥C₁N，
∴${S}_{△{C}_{1}ND}$=$\frac{1}{2}×{C}_{1}N×ND$=$\frac{1}{2}×\sqrt{6}×\sqrt{2}$=$\sqrt{3}$，
∴V${\;}_{D-MN{C}_{1}}$=${V}_{M-{C}_{1}ND}$=$\frac{1}{3}×MN×{S}_{△{C}_{1}ND}$=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\sqrt{3}$=1．

点评 本题考查线面平行的证明，考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．