题目内容

已知f(α)=
sin(α-
π
2
)cos(
2
-α)tan(7π-α)
tan(-α-5π)sin(α-3π)

(1)化简f(α);
(2)若tan(α-
2
)=-2
,求f(α)的值.
分析:(1)把f(α)解析式中分子的第一个因式利用正弦函数为奇函数化简后,再利用诱导公式变形,第二个因式中的角
2
-α变为为π+
π
2
-α,利用诱导公式变形,第三个因式利用诱导公式变形,分母第一个因式根据正切函数为奇函数化简,然后利用诱导公式变形,第二个因式先利用正弦函数为奇函数,再把角3π-α变形为2π+π-α,利用诱导公式变形,约分后即可得到最简结果;
(2)把已知式子中的角提取-1后,变为π+(
π
2
-α),利用诱导公式及正切函数为奇函数化简,得到tan(
π
2
-α)的值,再利用同角三角函数间的基本关系弦化切,并利用诱导公式化简,得到sinα和cosα的关系式,记作①,同时得到sinα和cosα同号,即α为第一或第三象限的角,根据同角三角函数间的平方关系得到sin2α+cos2α=1,记作②,联立①②,求出cosα的值,代入化简后的f(α)的式子中,即可求出f(α)的值.
解答:解:(1)f(α)=
-sin(
π
2
-α)cos(π+
π
2
-α)tan(7π-α)
[-tan(5π+α)][-sin(2π+π-α)]
…(2分)
=
-cosα[-cos(
π
2
-α)]tan(-α)
(-tanα)(-sinα)

=
-cosα(-sinα)(-tanα)
(-tanα)(-sinα)

=
-cosαsinαtanα
tanαsinα

=-cosα;…(4分)
(2)∵tan(α-
2
)=-2

∴-tan(
2
-α)=-tan(π+
π
2
-α)=-tan(
π
2
-α)=-2,
tan(
π
2
-α)=2

sin(
π
2
-α)
cos(
π
2
-α)
=
cosα
sinα
=2

sinα=
1
2
cosα
①,…(6分)
可见sinα与cosα同号,α为第一或第三象限角,
又sin2α+cos2α=1②,…(8分)
联立①②可得:cosα=±
2
5
5

当α为第一象限角时,f(α)=-cosα=-
2
5
5
;…(10分)
当α为第三象限角时,f(α)=-cosα=
2
5
5
.…(12分)
点评:此题考查了诱导公式,同角三角函数间的基本关系,正弦、余弦及正切函数的奇偶性,熟练掌握基本关系及诱导公式是解本题的关键,同时注意利用sinα与cosα同号,判断出α为第一或第三象限角.
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