Question

(08年泉州一中适应性练习理)（12分）

在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB=BC=2，∠ABC=90°，M为棱PC的中点.

(1)求证：点P，A，B，C四点在同一球面上；

(2)求二面角A－MB－C的大小；

(3)求过P、A、B、C四点的球面中，A、B两点的球面距离.

Answer 1

(1)证明：由已知条件Rt中PM=MC，则MP=MC=MA，

∵PA⊥平面ABC，AB是PB在平面ABC上的射影，∴PB⊥BC，AB⊥BC

则MC=MB=MP，所以MP=MC=MA=MB，即P，A，B，C四点都在以M为球心，半径为PM的球面上，

(2)以AC为y轴，AP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，

则，，

设平面AMB的法向量为，∵，，

由得所以

同理设平面BMC的法向量为，则解得

所以. 故二面角的大小为120°.

(3)∵过P，A，B，C四点的球面的球心为M，半径为，AB=2，

在中，，∴

故A，B两点的球面距离为