Question

30、函数f（x）对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，且当x＜0时，f（x）＜1，
（1）求f（0）；
（2）求证：f（x）在R上为增函数；
（3）若f（4）=7，解不等式f（x²+x）＜4．

Answer 1

分析：解：（1）用赋值法求得；（2）因为是抽象函数，所以必须用单调性定义来证明；（3）将4化为函数值的形式，利用函数的单调性定义解不等式．

解答：解：（1）由f（0+0）=f（0）+f（0）-1，得f（0）=1（3分）
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₂＜x₁（4分）
由题意，有f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）=f（x₁）+f（x₂-x₁）-1（6分）
∵x₂-x₁＜0
∴f（x₂-x₁）＜1（7分）
∴f（x₂）＜f（x₁）（8分）
∴f（x）在R上为增函数（9分）
（3）∵f（2+2）=f（2）+f（2）-1
∴f（2）=4（10分）
又∵f（x）在R上递增
∴x²+x＜2（11分）
∴不等式解集为{x|-2＜x＜1}（12分）

点评：本题主要考查在解决抽象函数时，要注意灵活运用赋值法和单调性和奇偶性定义．