题目内容

已知椭圆,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切。

   (1)求椭圆C的方程;

   (2)设轴对称的任意两个不同的点,连结PB交椭圆C于另一点E,证明:直线AE与x轴相交于定点Q;

   (3)在(2)的条件下,过点Q的直线与椭圆C交于M、N两点,求的取值范围。

解:(1)由题意知

故椭圆C的方程为  ………………2分

   (2)由题意知直线PB的斜率存在,设直线PB的方程为

…………①

代入整理得,

  ………………②

由①得代入②整得,得

所以直线AE与x轴相交于定点Q(1,0)  …………6分

   (3)当过点Q的直线MN的斜率存在时,

设直线MN的方程为在椭圆C上。

所以 ………………10分

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