Question

下列有五个命题：
①若sinα+cosα=1，则sinα•cosα=0．
②在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点．
③函数y=tanx的图象的对称中心一定是（kπ，0），k∈Z．
④x∈R，函数y=sinx+3|sinx|的值域为[0，4]．
⑤在△ABC中，若有关系式tanA=

cosB-cosC

sinC-sinB

成立，则△ABC为A=60°的三角形．
其中真命题的序号是

①⑤

．

Answer 1

分析：①若sinα+cosα=1，两边平方可得1+2sinαcosα=1，0．可判断①；②在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有一个公共点，可判断②；③函数y=tanx的图象的对称中心一定是（

1

2

kπ，0），④x∈R，函数y=sinx+3|sinx|

4sinx，sinx≥0 -2sinx，sinx＜0

，结合函数的性质可得值域⑤在△ABC中，若有关系式tanA=

cosB-cosC

sinC-sinB

成立，则cos（A-B）=cos（A-C ），由原式可得sinA≠sinB，可判断⑤

解答：解：①若sinα+cosα=1，两边平方可得1+2sinαcosα=1，则sinα•cosα=0．故①正确
②在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有一个公共点．故②错误
③函数y=tanx的图象的对称中心一定是（

1

2

kπ，0），k∈Z．故③错误
④x∈R，函数y=sinx+3|sinx|=

4sinx，sinx≥0 -2sinx，sinx＜0

的值域为[-2，4]．故④错误
⑤在△ABC中，若有关系式tanA=

cosB-cosC

sinC-sinB

成立，则

sinA

cosA

=

cosB-cosC

sinC-sinB

∴sinAsinC-sinAsinB=cosAcosB-cosAcosC
∴cos（A-B）=cos（A-C ）
但由原式可得sinA≠sinB，则A-B=C-A
∴B+C=2A，再由A+B+C=180°可得A=60°故⑤正确
故答案为：①⑤

点评：本题主要考查了同角平方关系、正弦函数的图象及函数的性质的应用，正切函数的性质的考查，两角差的余弦公式顶的应用，属于知识的综合应用．