题目内容

正方体．ABCD-A1B1C1D1的棱长为l，点F、H分别为为A1D、A1C的中点．
（Ⅰ）证明：A1B∥平面AFC；
（Ⅱ）证明：B1H⊥平面AFC．
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（Ⅰ）连结BD交AC于点E，则E为BD的中点，连结EF
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∵EF是△A1BD的中位线，∴EF∥A1B
∵EF?平面AFC，A1B?平面AFC，
∴A1B∥平面AFC；
（II）连结B1C，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，四边形A1B1CD是矩形
∵矩形A1B1CD中，H为A1C的中点，∴H也是B1D的中点
因此，要证明B1H⊥平面AFC，即证明B1D⊥平面AFC
∵正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B1⊥平面AA1C1C，AF?平面AA1C1C，∴AF⊥A1B1
又∵正方形AA1C1C中，AF⊥A1D，A1B1∩A1D=A1，
∴AF⊥平面A1B1CD，结合B1D?平面A1B1CD，得AF⊥B1D
同理可证：AE⊥B1D，
∵AF、AE是平面AFC内的相交直线，
∴B1D⊥平面AFC，即B1H⊥平面AFC
练习册系列答案
相关题目
如图所示，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，E、F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线EF的平面分别与棱BB′、DD′交于M、N，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四个命题：
①平面MENF⊥平面BDD′B′；
②当且仅当x=
12
时，四边形MENF的面积最小；
③四边形MENF周长l=f（x），x∈0，1]是单调函数；
④四棱锥C′-MENF的体积v=h（x）为常函数；
以上命题中真命题的序号为
①②④
①②④
．
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正方体ABCD-A'B'C'D'中，棱长为2，则异面直线A1B1与BC1的距离是
2
2
．
如图所示，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，E、F 分别是棱AA'，CC'的中点，过直线E、F的平面分别与棱BB′，DD′交于M、N，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四个命题：
①当且仅当x=0时，四边形MENF的周长最大；
②当且仅当x=
1
2
时，四边形MENF的面积最小；
③四棱锥C′-MENF的体积V=h（x）为常函数；
④正方体ABCD-A′B′C′D′被截面MENF平分成等体积的两个多面体．
以上命题中正确命题的个数（　　）
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