题目内容
双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．已知|
|、|
|、|
|成等差数列，且
与
同向．
（1）求双曲线的离心率；
（2）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．
|、||、||成等差数列，且与同向．（1）求双曲线的离心率；
（2）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．
解：（1）设双曲线方程为
由
，
同向，
∴渐近线的倾斜角为（0，
），
∴渐近线斜率为：
∴|AB|2=（|OB|﹣|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|﹣|OA|）2|AB|，∴
∴
可得：
，
而在直角三角形OAB中，注意到三角形OAF也为直角三角形，即tan∠AOB=
而由对称性可知：OA的斜率为k=tan
∴
；
∴
∴
（2）由第（1）知，a=2b，可设双曲线方程为
﹣
=1，c=
b，
∴AB的直线方程为 y=﹣2（x﹣
b），
代入双曲线方程得：15x2﹣32
bx+84b2=0，
∴x1+x2=
，x1x2=
，
4=
，16=
﹣
，
∴b2=9，所求双曲线方程为：
﹣
=1．
由
，同向，∴渐近线的倾斜角为（0，
），∴渐近线斜率为：
∴|AB|2=（|OB|﹣|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|﹣|OA|）2|AB|，∴
∴
可得：
，而在直角三角形OAB中，注意到三角形OAF也为直角三角形，即tan∠AOB=
而由对称性可知：OA的斜率为k=tan
∴
；∴
∴（2）由第（1）知，a=2b，可设双曲线方程为
﹣=1，c=b，∴AB的直线方程为 y=﹣2（x﹣
b），代入双曲线方程得：15x2﹣32
bx+84b2=0，∴x1+x2=
，x1x2=，4=
，16=﹣，∴b2=9，所求双曲线方程为：
﹣=1．
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