Question

15．过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F的一条直线交抛物线于点P、Q，设点Q关于x轴的对称点为Q′，准线与X轴的交点是点B，求证：P、Q′、B三点共线．

Answer 1

分析 如图所示，设P$（\frac{{y}_{1}^{2}}{2p}，{y}_{1}）$，Q$（\frac{{y}_{2}^{2}}{2p}，{y}_{2}）$，${Q}^{′}（\frac{{y}_{2}^{2}}{2p}，-{y}_{2}）$，B$（-\frac{p}{2}，0）$．利用斜率计算公式可得：${k}_{P{Q}^{′}}$，k_PB．设直线PQ的方程为：$my+\frac{p}{2}$=x，与抛物线方程联立化为y²-2pmy-p²=0，可得根与系数的关系，只有证明k_PB=${k}_{P{Q}^{′}}$，即可得出．

解答 证明：如图所示，
设P$（\frac{{y}_{1}^{2}}{2p}，{y}_{1}）$，Q$（\frac{{y}_{2}^{2}}{2p}，{y}_{2}）$，${Q}^{′}（\frac{{y}_{2}^{2}}{2p}，-{y}_{2}）$，B$（-\frac{p}{2}，0）$．
${k}_{P{Q}^{′}}$=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{\frac{{y}_{1}^{2}}{2p}-\frac{{y}_{2}^{2}}{2p}}$=$\frac{2p}{{y}_{1}-{y}_{2}}$，k_PB=$\frac{{y}_{1}}{\frac{{y}_{1}^{2}}{2p}+\frac{p}{2}}$=$\frac{2p{y}_{1}}{{y}_{1}^{2}+{p}^{2}}$．
设直线PQ的方程为：$my+\frac{p}{2}$=x，
联立$\left\{\begin{array}{l}{my+\frac{p}{2}=x}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，化为y²-2pmy-p²=0，
∴y₁y₂=-p²．
∴k_PB=$\frac{2p{y}_{1}}{{y}_{1}^{2}+{p}^{2}}$=$\frac{2p{y}_{1}}{{y}_{1}^{2}-{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{2p}{{y}_{1}-{y}_{2}}$，
∴k_PB=${k}_{P{Q}^{′}}$，
∴P、Q′、B三点共线．

点评 本题考查了抛物线的定义及其性质、过焦点的弦的性质、直线与抛物线相交转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．