Question

动点P（x，y）在线段AB上移动，其中A（-3，0），B（0，3），求：
（1）

y+1

x-1

的取值范围；   
（2）

x2+y2

+

(x-1)2+y2

的最小值及此时P点的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据直线的倾斜公式，设C（1，-1）得

y+1

x-1

表示PC的斜率．由此作出图形并观察PC倾斜角的变化，即可得到

y+1

x-1

的取值范围；
（2）设M（0，0），N（1，0），则所求目标函数表示P与M、N两点间的距离之和．利用点关于直线对称的方法进行求解，即可得到当P点的坐标为（-

9

7

，

12

7

）时，目标函数的最小值为5．

解答：解：（1）设C（1，-1），则

y+1

x-1

=kPC，表示PC的斜率
观察图形，直线PA的倾斜角总是钝角，由此可得
当P与A重合时，k_PC=-

1

4

达到最大值；
当P与B重合时，k_PC=-4达到最小值
∴k_PC∈[-4，-

1

4

]，即-4≤

y+1

x-1

≤-

1

4

（2）直线AB的方程为l_AB：x-y+3=0，
设M（0，0），N（1，0），M'为点M关于直线AB对称的点，
求得M'（-3，3），则|PM|+|PN|=

x2+y2

+

(x-1)2+y2

∵|PM|+|PN|=|PM′|+|PN|≥|M′N|
∴当P、M'、N三点共线时，
|PM|+|PN|达到最小值|M′N|=

(-3-1)2+(3-0)2

=5
求得直线M′N方程为3x+4y-3=0，
由此解出M′N、AB的交点坐标为P（-

9

7

，

12

7

）
∴

x2+y2

+

(x-1)2+y2

的最小值等于5，此时P点的坐标为（-

9

7

，

12

7

）．

点评：本题给出线段AB，求直线斜率的范围并求距离和的最小值．着重考查了直线的基本量与基本形式、点关于直线对称和两点的距离公式等知识，属于基础题．