Question

如图,平面EFGH分别平行于CD、AB,E、F、G、H分别在BD、BC、AC、AD上,并且CD=a,AB=b,CD⊥AB.

(1)求证:四边形EFGH是矩形;

(2)点E在什么位置时,矩形EFGH的面积最大?

Answer 1

(1)证明:∵CD∥平面EFGH,平面EFGH∩平面BCD=EF,

∴CD∥EF.

同理,HG∥CD,

∴EF∥HG.

同理,HE∥GF,

∴四边形EFGH为平行四边形.

∵CD∥EF,HE∥AB,

∴∠HEF为AB和CD所成的角.

∵CD⊥AB,

∴HE⊥EF.

∴四边形EFGH为矩形.

(2)解析:由(1)可知在△BCD中,EF∥CD,

设DE=m,EB=n,则.

∴EF=a.

同理,HE=b.

∵四边形EFGH为矩形,

∴S_矩形EFGH=HE·EF=.

∵m+n≥,

∴(m+n)²≥4mn.

∴(当且仅当m=n时取“=”，即E为BD的中点时“=”成立）.

∴当E为BD的中点时,(S_矩形EFGH)_max=ab.