Question

某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示，墩的上部分是正四棱柱P-EFGH，下半部分是长方体ABCD-EFGH，图2，图3分别是该标识墩的正（主）视图和俯视图．

（1）求该安全标识墩的体积；
（2）证明：直线BD⊥平面PEG．

Answer 1

分析：（1）由V=V_P-EFGH+V_ABCD-EFGH，能求出该安全标识墩的体积．
（2）连接EG、HF及BD，EG与HF相交于O，连接PO，由正四棱锥的性质知PO⊥平面EFGH，由此能够证明BD⊥平面PEG．

解答：解：（1）该安全标识墩的体积为

V=V_P-EFGH+V_ABCD-EFGH
=

1

3

×402×60+402×20
=64000（cm³）．
（2）连接EG、HF及BD，EG与HF相交于O，
连接PO，由正四棱锥的性质可知
PO⊥平面EFGH，∴PO⊥HF
又EG⊥HF，∴HF⊥平面PEG
又BD∥HF，∴BD⊥平面PEG．

点评：本题考查几何体体积的证明，考查直线与平面垂直的证明，解题时要认真审题，仔细解答．