Question

已知定义域为R的单调函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f(x)=

x

3

-2x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由定义域为R的函数f（x）是奇函数，知f（0）=0．当x＜0时，f(-x)=

-x

3

-2-x，由函数f（x）是奇函数，知f(x)=

x

3

+2-x，由此能求出f（x）的解析式．
（2）由f(1)=-

5

3

＜f(0)=0且f（x）在R上单调，知f（x）在R上单调递减，由f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0，得f（t²-2t）＜-f（2t²-k），再由根的差别式能求出实数k的取值范围．

解答：解：（1）∵定义域为R的函数f（x）是奇函数，
∴f（0）=0，
当x＜0时，-x＞0，
f(-x)=

-x

3

-2-x，
又∵函数f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∴f(x)=

x

3

+2-x，
综上所述f(x)=

x 3 -2x (x＞0)   0 (x=0)   x 3 +2-x (x＜0)

．
（2）∵f(1)=-

5

3

＜f(0)=0，
且f（x）在R上单调，
∴f（x）在R上单调递减，
由f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0，
得f（t²-2t）＜-f（2t²-k），
∵f（x）是奇函数，
∴f（t²-2t）＜f（k-2t²），
又∵f（x）是减函数，
∴t²-2t＞k-2t²
即3t²-2t-k＞0对任意t∈R恒成立，
∴△=4+12k＜0得k＜-

1

3

即为所求．

点评：本题考查函数的恒成立问题，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，同时注意函数性质的灵活运用．