题目内容

已知函数,且函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称,又,g(1)=0.
(Ⅰ)求f(x)的值域;
(Ⅱ)是否存在实数m,使得命题p:f(m2-m)<f(3m-4)和满足复合命题p且q为真命题?若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.
【答案】分析:(I)依题意函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称得:f(x)与g(x)互为反函数,利用反函数图象间的对称性列出关于a,b方程求出它们的值,最后利用f(x)在[0,+∞)上是减函数即可求得f(x)的值域;
(II)对于存在性问题,可先假设存在,由(Ⅰ)知f(x)是[0,+∞)上的减函数,g(x)是(0,1]上的减函数,欲使得复合命题p且q为真命题,必须p且q都为真命题,据此列出不等关系,解之,如果不出现矛盾则存在,否则不存在.
解答:解:(Ⅰ)依题意f(x)与g(x)互为反函数,
由g(1)=0得f(0)=1∴
(3分)
故f(x)在[0,+∞)上是减函数∴
即f(x)的值域为(0,1].(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)是[0,+∞)上的减函数,g(x)是(0,1]上的减函数,
(9分)
解得
因此,存在实数m,使得命题p且q为真命题,且m的取值范围为:.(12分)
点评:本题主要考查了反函数、复合命题的真假函数的值域及存在性问题.求反函数,一般应分以下步骤:(1)由已知解析式y=f(x)反求出x=Ф(y);(2)交换x=Ф(y)中x、y的位置;(3)求出反函数的定义域(一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域).
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